Milla nF e er nt áa nl .d, e Oz pH t .i , mM i zo ad ce li aó dn o,ds ei ml du il as ce i ñó on yd ed i ms e ñu or od se du en cb oa nn ct oe nd ce i pó r nu ee b ma sp al ep al i nc ad d oo aa l ug no rc io t nmt roo lador de ciclos.  
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE MUROS DE CONTENCIÓN  
EMPLEANDO ALGORITMO SIMULATED ANNEALING  
MODIFICADO  
1
,2  
1
Millan Paramo, Carlos A. ,*; Arrieta Baldovino, Jair  
. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, Brasil.  
1
-
2
-
Facultad de Ingeniería, Universidad de Sucre, Sincelejo, Colombia  
e-mail: carlos.millan@unisucre.edu.co  
*
Recibido (28/11/16), aceptado (25/01/18)  
Resumen: En este trabajo, se desarrolla un procedimiento para el diseño de muros de contención de  
hormigón armado de bajo peso, empleando el algoritmo simulated annealing modificado (ASAM).  
El objetivo de la optimización es minimizar el peso total por unidad de longitud de la estructura de  
retención basado en el procedimiento de la ACI 318-05. El algoritmo es validado utilizando dos  
problemas de referencia con variables continuas para la geometría del muro y variables discretas  
en el acero de refuerzo para la optimización del diseño estructural. Finalmente, los resultados  
numéricos demuestran la eficiencia del algoritmo presentado para este tipo de problemas.  
Palabras: Optimización, muros de contención, algoritmo simulated annealing modificado.  
OPTIMIZATION DESIGN OF RETAINING WALLS USING  
MODIFIED SIMULATED ANNEALING ALGORITHM  
Abstract: In this paper, a procedure is developed for designing low-weight cantilever reinforced  
concrete retaining walls, using modified simulated annealing algorithm (MSAA). The objective of the  
optimization is to minimize the total weight per unit length of the retaining structure based on the ACI  
3
18-05procedure.Thealgorithmisvalidatedusingtwobenchmarkcasestudieswithcontinuousvariables  
for wall geometry and discrete variables for steel reinforcement to optimize the structural design. Finally,  
the numerical results demonstrate the efficiency of the presented algorithm for this class of problems.  
Key words: Optimization; retaining walls; modified simulated annealing algorithm.  
67  
ISSN 2542-3401  
UNIVERSIDAD,CIENCIAyTECNOLOGÍAVol.22,Nº87J u ni o2 018(pp.67- 75)  
Milla nF e er nt áa nl .d, e Oz pH t .i , mM i zo ad ce li aó dn o,ds ei ml du il as ce i ñó on yd ed i ms e ñu or od se du en cb oa nn ct oe nd ce i pó r nu ee b ma sp al ep al i nc ad d oo aa l ug no rc io t nmt roo lador de ciclos.  
I. INTRODUCCIÓN  
es la exploración del espacio de búsqueda, mientras  
Unodelostiposdeestructurasderetencióngeotécnica que intensificación es la explotación de las mejores  
más comunes y usados es el muro de contención en soluciones encontradas [12]. Una de las dificultades  
voladizo de concreto reforzado. En el análisis y diseño que surgen como resultado de la falta de un equilibrio  
de estructuras de contención, la interacción entre el es la fuerte tendencia del algoritmo para converger  
suelo y las estructuras plantea muchos desafíos para el prematuramente. Esto significa que el algoritmo no  
diseñador; la estructura debe soportar de forma segura explora el espacio de búsqueda completamente; se  
y fiable el suelo de relleno, proporcionar estabilidad queda atrapado en una pequeña región del espacio de  
frente a la posibilidad de vuelco y deslizamiento, búsqueda, y en consecuencia converge a una solución  
limitar los esfuerzos tanto en el suelo y la estructura, que está sustancialmente lejos del óptimo global.  
y proporcionar factores de seguridad aceptables para  
En este estudio, se propone emplear el Algoritmo  
todos los modos de falla [1]. Además de estos objetivos Simulated Annealing Modificado (ASAM) [13],  
de diseño, hay varios requisitos que el muro de concreto recientemente desarrollado, para abordar el problema  
reforzado debe satisfacer; como el de disponer de de optimización (minimización de peso) del diseño de  
suficiente capacidad de fuerza cortante y momento en muros de contención, debido a su notable desempeño  
la pared, pie, talón y dentellón del muro; la capacidad en comparación con técnicas como HS, AG, PSO, entre  
de carga de la fundación no puede permitir esfuerzo otras. Para mayores detalles se recomienda consultar  
de tensión; y la configuración del acero de refuerzo [13]. ASAM se basa en el proceso de enfriamiento de  
debe cumplir con todos los requisitos del código de metales empleado en el Simulated Annealing (SA)  
construcción [1].  
clásico pero posee tres características fundamentales  
Optimizar el diseño de muros de contención es (exploraciónpreliminar,pasodebúsquedayprobabilidad  
considerado un problema difícil de resolver, debido a de aceptación) que lo diferencian de este. En su primera  
las restricciones que presenta, formando zonas factibles parte este trabajo presenta la descripción del problema  
de solución que son altamente no lineales, no convexas de optimización estructural. Seguidamente se describe  
e implícitas con respecto a las variables de diseño. Por brevemente el algoritmo ASAM, sus fundamentos y los  
lo tanto los enfoques determinísticos (programación parámetros que lo controlan. Para demostrar la eficacia  
matemática) resultan difícil y requieren mucho tiempo y validez del algoritmo, dos problemas de referencias  
para ser aplicados a estos problemas de optimización, relacionados con el diseño de muros de contención son  
asimismo, un buen punto de partida es vital para que analizados.  
estos métodos puedan ejecutarse con éxito. Bajo  
tales circunstancias, los algoritmos metaheurísticos II. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA  
basados en imitar procesos naturales pueden servir  
La Figura 1 muestra un muro de contención  
como alternativas apropiadas, debido a la capacidad de modelado con 12 variables de diseño: ancho de la base  
encontrar mínimos locales en espacios de búsquedas (X1), ancho del pie (X2), ancho de la parte inferior de la  
altamente modales y multidimensionales.  
pared (X3), ancho de la parte superior de la pared (X4),  
Métodos para el desarrollo de diseños de bajo espesor de la base (X5), la distancia desde el pie y la  
costo de estructuras de contención han sido objeto de parte delantera del dentellón (X6), ancho del dentellón  
investigación durante muchos años. Sin embargo, la (X7), espesor del dentellón (X8), acero de refuerzo  
aplicación de métodos metaheurísticos para el diseño vertical de la pared (R1), acero de refuerzo horizontal  
de estas estructuras es relativamente nueva: Ceranic del pie y talón (R2 y R3, respectivamente) y el acero de  
[
2] y Yepes [3] aplicaron recocido simulado (Simulated refuerzo vertical del dentellón (R4).  
Annealing - SA); Kaveh [4] aplicó búsqueda harmónica  
Harmony Search – HS); Gandomi [5] empleando  
(
diferentes técnicas de enjambres inteligentes (Particle  
Swarm Optimization – PSO, Firefly Algorithm – FA).  
Coello [6], Rajeev [7], Camp [8], Lee [9], Sahab [10],  
y Kwak [11] aplicaron varias formas de algoritmos  
genéticos (AG) para la resolución de este problema.  
Uno de los requisitos más importantes para llevar a  
cabo una búsqueda con éxito utilizando un algoritmo  
metaheurísticosesmantenerunequilibrioadecuadoentre  
la diversificación y la intensificación. La diversificación  
68  
ISSN 2542-3401  
U N I V E R S I D A D , C I E N C I A y T E C N O L O G Í A V o l . 2 2 , N º 8 7 Ju n i o2 0 1 8( p p . 6 7 - 7 5 )
Milla nF e er nt áa nl .d, e Oz pH t .i , mM i zo ad ce li aó dn o,ds ei ml du il as ce i ñó on yd ed i ms e ñu or od se du en cb oa nn ct oe nd ce i pó r nu ee b ma sp al ep al i nc ad d oo aa l ug no rc io t nmt roo lador de ciclos.  
Tabla I. Propiedades del acero de refuerzo para las  
variables R1 a R4.  
Número de  
Refuerzo  
Total As (cm2)  
combinación Cantidad Tamaño barra (mm)  
1
2
3
4
5
.
3
4
3
5
4
.
10  
10  
12  
10  
12  
.
2,356  
3,141  
3,392  
3,926  
4,523  
.
.
.
.
.
.
.
.
.
221  
222  
223  
16  
17  
18  
30  
30  
30  
113,097  
120,165  
127,234  
Todas las fuerzas actuantes en el muro con mostradas en  
la Figura 2, donde W es el peso combinado de todas las  
C
secciones del muro; W es el peso del relleno que actúa  
S
sobre el talón del muro, q es la sobrecarga distribuida  
(
Q es la resultante de la sobrecarga); P es la resultante  
A
de la presión activa del suelo; P y P son las fuerzas  
K
T
Figura 1. Variables de diseño muro de contención  
resultante de la presión pasiva del suelo en la parte  
delantera del pie y dentellón, respectivamente; P es la  
fuerza resultante de la presión del suelo sobre la base.  
Los coeficientes de presión de tierra activa y pasiva se  
B
Las variables X1 a X8 representan la geometría del  
muro, y las variables R1 a R4 representan el acero de  
refuerzo. Para X1 a X8, se usan variables continuas, evalúan usando la teoría de Rankine [14], usando las  
mientras que para R1 a R4, se considera un conjunto ecuaciones (1) y (2), respectivamente:  
de valores discretos, como se muestra en la Tabla  
2
2
ꢂꢃꢄꢅ − �ꢂꢃꢄ ꢅ − ꢂꢃꢄ ∅  
I. Se utilizaron un total de 223 combinaciones de  
refuerzo para representar entre 3 y 28 barras de 10-  
ꢀꢁ = ꢂꢃꢄꢅ  
2
2
(1)  
ꢂꢃꢄꢅ + �ꢂꢃꢄ ꢅ − ꢂꢃꢄ ∅  
3
0 mm de diámetro uniformemente espaciadas [1]. El  
diseño del muro de contención se divide en dos fases:  
diseño geotécnico y diseño estructural. En la fase del  
diseño geotécnico, el muro debe ser chequeado para  
volcamiento, deslizamiento y capacidad de carga. En  
la fase del diseño estructural, el muro debe satisfacer  
los esfuerzos cortantes y de momentos en la pared, pie,  
talón y dentellón. Una breve revisión del procedimiento  
de diseño geotécnico y estructural se presenta en esta  
sección.  
∅
2
ꢀ
ꢆ = ꢇꢁꢈ ꢉ45 +  
ꢊ
2
(
2)  
donde β es el ángulo de inclinación y  
fricción del suelo del relleno.  
∅
es el ángulo de  
Figura 2. Fuerzas actuantes sobre el muro de contención  
69  
ISSN 2542-3401  
UNIVERSIDAD,CIENCIAyTECNOLOGÍAVol.22,Nº87J u ni o2 018(pp.67- 75)  
Millan et al., Optimización del diseño de muros de contención empleando algoritmo  
El diseño geotécnico y estructural del muro de Requisitos de resistencia estructural  
contención fue basado den Das [14] y Camp [1] de la El momento y la capacidad a cortante de cada sección  
del muro de contención deben ser mayores o iguales a las  
de diseño. Basado en la ACI 318-05 [15], la resistencia  
a la flexión se puede calcular usando la ecuación (10):  
siguiente manera:  
Requisitos de estabilidad geotécnica  
El factor de seguridad de volcamiento del muro es  
calculado de la siguiente manera:  
ꢁ
ꢎ = ∅ꢠ ꢢ ꢣꢤ − ꢥ  
ꢈ
ꢡ
ꢄ
(10)  
2
∑
∑
ꢎꢏ  
ꢎꢍ  
∅
donde es el coeficiente de resistencia nominal (igual  
0.9), A es el área de acero de refuerzo, f es el esfuerzo  
de fluencia del acero, d es la distancia desde la superficie  
de compresión al centroide del refuerzo de tensión, y a  
(3)  
ꢋꢌ =  
ꢍ
s
y
donde ∑M es la suma de los momentos que tienden a  
volcar y ∑M es la suma de los momentos que tienden es la profundidad del bloque de tensiones.  
R
O
a evitar el vuelco.  
La resistencia a cortante es calculada siguiendo la  
ecuación (11):  
El factor de seguridad de deslizamiento es definido por  
∑
∑
ꢋꢏ  
ꢟ = ∅0.17�ꢠ ꢕꢤ  
ꢈ
ꢂ
(11)  
ꢋꢌ =  
(4)  
ꢌ
ꢋꢐ  
donde  
∅
es el coeficiente de resistencia nominal (igual a  
donde∑F eslasumadefuerzasderesistenciahorizontal  
R
0
.75), f_c es la resistencia a compresión del concreto, y  
contra el deslizamiento y ∑F la suma de las fuerzas  
D
b es el espesor de la sección.  
horizontales a favor del deslizamiento, definidas por la  
ecuación (5) y (6), respectivamente.  
III. OPTIMIZACIÓN  
Generalmente, los problemas de optimización  
minimizan una función objetivo f(x), sujeta a las  
siguientes restricciones:  
2
∅
ꢕꢁꢄꢖ  
2ꢗꢘꢕꢁꢄꢖ  
ꢑ ꢋꢏ = ꢉꢑ ꢒꢓꢁꢔꢔ ꢊ ꢇꢁꢈ ꢉ  
ꢊ +  
+ ꢙꢆ  
(5)  
(6)  
3
3
ꢑ ꢋꢐ = ꢙ ꢂꢃꢄꢅ  
ꢁ
ꢦꢞ (ꢝ) ≤ 0  
ꢞ = 1,2, … , ꢆ  
ℎꢧ (ꢝ) = 0  
ꢧ = 1,2, … , ꢜ  
(12)  
donde ∑Wwall es el peso total del muro, _base es  
∅
el angulo de fricción del suelo de fundación, B es la  
ancho total de la base, Cbase es la cohesión del suelo de  
fundación, P la fuerza pasiva y P la fuerza activa.  
ꢨ ≤ ꢪ ≤ ꢫ  
ꢩ
ꢩ = 1,2, … , ꢈ  
ꢩ
ꢩ
p
a
donde g(x) son restricciones de desigualdad, h(x) son  
restricciones de igualdad, L y U son los límites de las  
variables. Esta sección describe la función objetivo y  
restricciones usadas en este estudio.  
El factor de seguridad de la capacidad de carga es  
expresado por:  
ꢚꢛ  
ꢋꢌꢗ  
=
(7)  
Función objetivo  
ꢚꢜꢁꢝ  
Con el fin de llegar a un diseño óptimo utilizando  
donde q es la capacidad de carga ultima del suelo de técnicas metaheurísticas, es necesario para definir  
u
fundación y qmax es la máxima presión de carga bajo la una función objetivo f(x). En este trabajo se utilizó la  
fundación, determinada usando la ecuación (8):  
propuesta por Saribaş [16] que está en función del peso  
de los materiales:  
∑
ꢟ
6ꢖ  
ꢚ
ꢜꢞꢈ  
=
ꢉ1 ∓  
ꢊ
(8)  
ꢜꢁꢝ  
ꢗ
ꢗ
ꢠ
= ꢒꢄꢇ + 100 ꢟ ꢬ  
ꢆꢖꢄꢃ ꢂ ꢂ  
(13)  
donde ∑V es la suma de fuerzas verticales (resultante donde γ es el peso unitario del concreto; y se utiliza un  
c
del peso del muro, suelo sobre la base, y sobrecarga); B factor de 100 para la consistencia de unidades [16].  
es el acho de la base; y e la excentricidad de la resultante  
del sistema de fuerzas, expresada de la siguiente manera: Restricciones  
El diseño de muros de contención seguros y estables  
ꢗ
∑ ꢎ − ∑ ꢎ  
−
basados en ACI 318-05 [15], requiere satisfacer ciertas  
condiciones relacionadas con la estabilidad, capacidad  
y geometría del muro [1].  
ꢏ
ꢍ
(3)  
ꢖ =  
2
∑
ꢟ
70  
ISSN 2542-3401  
U N I V E R S I D A D , C I E N C I A y T E C N O L O G Í A V o l . 2 2 , N º 8 7 Ju n i o2 0 1 8( p p . 6 7 - 7 5 )
Millanetal .,O p t im iz a cióndel d iseñ od em ur o s d e c onte n c i ónempl e ando a l go r i t mo
•
Restricciones de estabilidad  
IV. ALGORITMO SIMULATED ANNEALING  
Las ecuaciones (14)-(16) definen la estabilidad del MODIFICADO (ASAM)  
muro de contención:  
Antes de sintetizar las características de ASAM,  
vale la pena describir brevemente el funcionamiento del  
SimulatedAnnealing básico. SAcomienza con un cierto  
estado S. A través de un proceso único crea un estado  
vecino S' al estado inicial. Si la energía o la evaluación  
del estado S^' son menores que el estado S cambia el  
estado S por S^'. Si la evaluación de S^' es mayor que  
la de S puede estar empeorando, por lo que elige S^' en  
ꢋꢌ ≥ ꢋꢌ  
ꢍ
ꢍꢤꢞꢄꢖñꢃ  
ꢌꢤꢞꢄꢖ ñꢃ  
ꢗꢤꢞꢄꢖ ñꢃ  
(14)  
(15)  
(16)  
ꢋꢌ ≥ ꢋꢌ  
ꢌ
ꢋꢌ ≥ ꢋꢌ  
ꢗ
donde FSOdiseño, FSSdiseño, FSBdiseño son factores de vez de S con una cierta probabilidad que depende de  
seguridad prescritos para volcamiento, deslizamiento y las diferencias en las evaluaciones y la temperatura del  
capacidad de carga.  
sistema T. La probabilidad de aceptar un peor estado se  
calcula por la siguiente ecuación:  
•
Restricciones de capacidad  
ꢙ(∆ꢠ, ꢱ) = ꢖ(  
∆ꢠ/ꢱ)  
Cada sección del muro de contención debe tener  
capacidad para resistir las cargas efectivas. Dos criterios,  
propuestos en ACI 318-05 [15] son tenidos en cuenta:  
(24)  
donde P es la probabilidad de aceptar el nuevo estado;  
∆
f la diferencia de las evaluaciones de la función para  
ꢎ ≥ ꢎ  
ꢈ
ꢤ
(
17)  
cada estado; T temperatura del sistema y e número de  
Euler.  
Inicialmente, con valores grandes para T,  
frecuentemente se aceptan soluciones con un mayor  
ꢟꢈ ≥ ꢟ  
ꢤ
(18)  
donde M y V son el momento y cortante solicitados, valor de función objetivo; a medida que el valor de T  
d
d
respectivamente, y M y V son el momento y cortante disminuye, tal tipo de soluciones raramente se aceptan,  
n
n
nominal, respectivamente. Además, cumplir con las y cuando T se acerca a cero, solo se aceptan aquellas  
limitaciones de refuerzo:  
soluciones que mejoran la anterior. Varios estudios  
teóricos demuestran que sí T decrece con la suficiente  
lentitud, el proceso converge a la solución óptima. La  
función para reducción de temperatura más utilizada es:  
�
ꢠ
ꢂ
1.4  
(19)  
ꢭꢜꢞꢈ = 0.25  
≥
ꢠ
ꢠ
ꢡ
ꢡ
T(k+1)=T , donde T es el nuevo valor ajustado de T,  
ꢠ
600  
k∙α  
(k+1)  
ꢂ
ꢭꢜꢁꢝ = 0.85ꢅ1  
ꢮ
ꢯ
(20)  
T corresponde al previo valor de T y α es una constante  
k
ꢠ
600 + ꢠꢡ  
ꢡ
que está comprendida en el intervalo [0.8-0.99].  
SA comienza con una solución inicial escogida  
donde ρmin y ρmax son las cuantías mínima y máxima, aleatoriamente en el espacio de búsqueda y la compara  
respectivamente; f la resistencia a compresión del con otra que también se selecciona estocásticamente en  
c
concreto; f el esfuerzo de fluencia del acero y β es elespaciodebúsqueda, loqueafectaalalgoritmocuando  
y
1
calculado basado en la ACI 318-05 como sigue:  
se tienen funciones altamente dimensionales y modales  
generando mayores tiempos de búsqueda y soluciones  
subóptimas. Además, la probabilidad de aceptación  
de una solución peor se encuentra en un intervalo de  
entre 0 y 1, lo cual causa que a temperaturas iniciales el  
ꢠꢂ ≤ 30ꢎꢙꢁ ꢅ1 = 0.85  
ꢰ
0.05  
(21)  
ꢠꢂ > 30ꢎꢙꢁ  
ꢅ1 = 0.85 −  
(ꢠ − 30) ≥ 0.65  
ꢂ
7
•
Restricciones de geometría  
Las restricciones de geometría consisten en algoritmo acepte un gran número de soluciones de peor  
restricciones de límites y de desigualdad definidas calidad (aumentando el riesgo de quedar atrapado en un  
para producir diseños prácticos. Para este estudio, un óptimo local).  
conjunto de valores continuos se consideraron para las  
En este contexto el algoritmo ASAM, tiene 3  
variables X1 a X8 (como se indica en la Figura 1), y características fundamentales que lo hacen diferente  
un conjunto de valores discretos se consideraron para respecto al Simulated Annealing básico. Dichas  
las variables R1 a R4 (como se indica en la Tabla I). características son las siguientes:  
Para prevenir dimensiones del muro no factibles, las  
siguientes restricciones de desigualdad, propuestas en Exploración preliminar  
Camp [1], fueron impuestas:  
En esta etapa el algoritmo realiza una exploración en  
todo el espacio de búsqueda que viene dado por la  
siguiente matriz:  
ꢪ ≥ ꢪ + ꢪ  
3
1
2
(
22)  
23)  
ꢪ ≥ ꢪ + ꢪ  
7
1
6
(
71  
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ꢪꢙꢝꢲ = ꢳꢙꢝꢲ ꢪꢜꢞꢈ + ꢴꢁꢈꢤꢙꢝꢲ  
(
ꢪꢜꢁꢝ − ꢪꢜꢞꢈ  
)
(25)  
tienen la finalidad de mejorar la exploración inicial,  
permitir un balance entre exploración inicial y final y  
donde P es el número de puntos (estados) que se controlar la convergencia en la etapa final de búsqueda.  
desean en el espacio de búsqueda; N el número de  
dimensiones del problema; IPxN es una matriz identidad V. PROBLEMAS NUMERICOS  
de tamaño PxN; Xmin el límite inferior del problema; Para validar el desempeño de ASAM, dos ejemplos  
Xmax el límite superior del problema y randPxN una numéricos expuestos en Saribaş [16] fueron analizados.  
matriz PxN de números aleatorios (aleatoriedad pura) Teniendo en cuenta que el algoritmo estudiado en este  
entre 0 y 1.  
trabajo es de naturaleza estocástica, a continuación se  
Para comenzar el proceso de optimización con describen los criterios para evaluar su desempeño. La  
ASAM se evalúan todos los puntos generados con la desviación estándar de las funciones analíticas se utilizó  
ecuación (25) mediante la función objetivo del problema para medir la precisión y la estabilidad del método. Se  
y se escoge el que tenga menor valor (en el caso de estar dice que un método heurístico de optimización que es  
buscando el valor mínimo de la función) como punto estable y preciso si su desviación estándar es baja. El  
inicial de la búsqueda.  
algoritmo se puede catalogar como robusto si cuando  
se aplica en diferentes problemas presenta precisión y  
exactitud. En este trabajo, cada corrida del algoritmo se  
Paso de búsqueda  
A partir del punto inicial determinado en la etapa realizó 100 veces [5] y el mejor valor de la función, el  
anterior, se genera un paso de búsqueda para determinar peorvalordelafunción,lamediayladesviaciónestándar  
el estado vecino. Este paso depende de un radio de de los valores son reportados. La implementación del  
acción que se reduce gradualmente a medida que algoritmo fue realizada en Matlab®, bajo el sistema  
desciende la temperatura del sistema. Es decir, cuando operativo Windows 7 y el equipo utilizado fue un Intel  
el algoritmo está en determinada temperatura, con radio Core i7-2.4 GHz, 8GB (RAM).  
de acción definido por la ecuación (26), la transición  
del punto inicial al nuevo punto (paso de búsqueda) se Problema 1  
realiza mediante la adición de números aleatorios que Para este ejemplo, el dentellón no está incluido en el  
están comprendidos entre cero y el valor del radio. diseño del muro de contención. Los valores de los  
Esto permite que el algoritmo realice una exploración parámetros utilizados para el Problema 1 están indicados  
global a temperaturas altas y una exploración local en la Tabla II. Los límites de las variables de diseño se  
a temperaturas bajas, dando un equilibrio entre la encuentran en la Tabla III.  
exploración y la explotación del algoritmo.  
La Tabla IV lista los resultados de los valores de las  
variables de diseño, el peor, mejor, media y desviación  
estándar (DE) de los diseños encontrados con ASAM  
comparados con Camp [1], quien utilizó el algoritmo  
ꢏꢞ+1 = ꢏ ∙ ꢵ  
ꢞ
(26)  
donde, R es el radio inicial ciclo y α el coeficiente de Big Bang – Big Crounch (BB-BC). La convergencia del  
i
reducción del radio.  
algoritmo se presenta en la Figura 3.  
Probabilidad de aceptación  
En esta propuesta la probabilidad de aceptación de  
una solución (estado) peor viene dada por:  
1
ꢙ =  
∆
ꢠ
(27)  
ꢣ
+ ꢖ  
ꢶ ꢥ  
ꢱ
1
donde P es la probabilidad de aceptar el nuevo estado;  
f la diferencia de las evaluaciones de la función para  
∆
cada estado; T temperatura del sistema y e número de  
Euler.  
Esta probabilidad se encuentra en un intervalo entre 0 y  
½
, lo que permite al algoritmo tener un rango menor de  
aceptación de peores soluciones.  
En resumen, las 3 modificaciones propuestas en ASAM  
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ISSN 2542-3401  
UNIVERSIDAD,CIENCIAyTECNOLOGÍAVol.22,Nº87J u ni o2 018(pp.67- 75)  
Millan et al., Optimización del diseño de muros de contención empleando algoritmo  
Tabla II. Parámetros para los Problemas 1 y 2 [1]  
Parámetro  
Símbolo  
Valor  
Problema 1  
3,0  
Unidad  
m
Problema 2  
4,5  
Altura del muro  
Esfuerzo de fluencia del acero  
Esfuerzo a la compresión del concreto  
Recubrimiento  
400  
21  
7
400  
21  
7
MPa  
MPa  
cm  
-
kPa  
°
Cuantía de refuerzo por contracción y temperatura  
Sobrecarga  
Ángulo de inclinación del relleno  
Ángulo de fricción interna del suelo de relleno  
0,002  
20  
10  
0,002  
30  
0
36  
28  
°
Ángulo de fricción interna del suelo de fundación  
Peso específico del suelo de relleno  
0
34  
°
17,5  
17,5  
kN/m3  
Peso específico del suelo de fundación  
Peso específico del concreto  
Cohesión del suelo de fundación  
Altura de suelo en frente del muro  
Factor seguridad volcamiento  
18,5  
23,5  
125  
0,5  
1,5  
1,5  
18,5  
23,5  
0
0,3  
1,5  
1,5  
1,5  
kN/m3  
kN/m3  
kPa  
m
-
-
Factor seguridad deslizamiento  
Factor seguridad capacidad de carga  
3,0  
-
Tabla III. Límites de las variables de diseño para Problema 1 y 2 [1]  
Variable  
de diseño  
Unidad  
Problema 1  
Problema 2  
Límite  
Límite  
Límite  
Límite  
inferior  
superior  
inferior  
superior  
X1  
X2  
X3  
X4  
X5  
X6  
X7  
X8  
R1  
R2  
R3  
R4  
m
m
m
m
m
m
m
m
-
1,3090  
2,3333  
1,96  
0,65  
0,25  
0,25  
0,4  
1,96  
0,2  
0,2  
1
5,5  
1,16  
0,5  
0,5  
0,5  
5,5  
0,5  
0,5  
223  
223  
223  
223  
0,4363  
0,7777  
0,2000  
0,3333  
0,2000  
0,3333  
0,2722  
0,3333  
-
-
-
-
-
-
1
1
1
-
223  
223  
223  
-
-
1
-
-
1
1
Tabla IV. Comparación de resultados para Problema 1  
Variable  
X1 (m)  
X2 (m)  
X3 (m)  
X4 (m)  
X5 (m)  
R1  
R2  
R3  
Mejor (kg/m)  
Peor (kg/m)  
Media (kg/m)  
DE (kg/m)  
Camp BB-BC [1]  
Este trabajo  
1,783  
0,661  
0,200  
0,200  
1,745  
0,656  
0,200  
0,200  
0,272  
27-10 mm  
10-10 mm  
10-10 mm  
2608,3  
-
0,272  
8-18 mm  
14-10 mm  
10*10 mm  
2608,5  
2608,9  
2608,7  
0,128  
-
-
73  
ISSN 2542-3401  
UNIVERSIDAD,CIENCIAyTECNOLOGÍAVol.22,Nº87J u ni o2 018(pp.67- 75)  
Millanetal .,O p t im iz a cióndel d iseñ od em ur o s d e c onte n c i ónempl e ando a l go r i t mo
Figura 3. Convergencia Problema I  
Figura 4. Convergencia Problema 2 – Caso1  
Problema 2  
Para el segundo problema, dos diferentes casos de  
diseño son considerados: uno sin dentellón (Caso 1), y  
uno con dentellón (Caso 2). Se utilizaron los parámetros  
propuestos por Saribaş [16], como se muestran en la  
Tabla II. La Tabla III muestra los límites de las variables  
de diseño. En la serie de las 100 ejecuciones, los valores  
de las variables de diseño, el mejor, el peor, la media  
y la DS para el Caso 1 y Caso 2 son presentados en la  
Tabla V. En la Figura 4 y 5 se encuentran las gráficas de  
convergencias para cado caso.  
Tabla V. Comparación de resultados para Problema  
2
Figura 5. Convergencia Problema 2 – Caso2  
Variable  
Camp BB-BC [1]  
Este trabajo  
Caso 1  
4,281  
0,650  
0,409  
0,250  
0,400  
-
Caso 1  
4,310  
0,650  
0,410  
0,250  
0,400  
-
-
Caso 2  
3,760  
0,680  
0,410  
0,250  
0,400  
3,220  
0,200  
0,490  
22-14 mm  
18-10 mm  
20-14 mm  
6-10 mm  
7525,407  
-
Caso 2  
3,760  
0,650  
0,409  
0,250  
0,400  
3,281  
0,200  
0,473  
22-14 mm  
20-10 mm  
20-14 mm  
6-10 mm  
7524,9  
7526,9  
7525,8  
0,570  
Se puede considerar que ASAM es un algoritmo de  
optimización robusto debido a que encontró valores  
iguales o mejores que los reportados por Camp. Por  
otro lado, se puede afirmar que ASAM muestra una  
gran capacidad para escapar de óptimos locales debido  
a que estos problemas contienen espacios de búsquedas  
altamente no lineales y no convexos. Igualmente, mostró  
potencial de búsqueda al manejar diferentes problemas,  
con distintos parámetros y límites de las variables de  
diseño. En el Problema 1, el mejor diseño encontrado  
por ASAM (2608,5 kg/m) es igual cuando se compara  
con el algoritmo BB-BC.  
X1 (m)  
X2 (m)  
X3 (m)  
X4 (m)  
X5 (m)  
X6 (m)  
X7 (m)  
X8 (m)  
R1  
-
-
-
22-14 mm  
15-10 mm  
22-14 mm  
-
24-14 mm  
16-10 mm  
24-14 mm  
-
7822,4  
7824,2  
7823,3  
0,511  
R2  
R3  
R4  
Mejor (kg/m)  
Peor (kg/m)  
Media (kg/m)  
DE (kg/m)  
7821,554  
-
-
-
-
-
En el Problema 2, para el Caso 1, el mejor diseño (7826,4  
kg/m) encontrado por ASAM es aproximadamente 1,0  
kg/m más pesado que el de Camp [1]. En el Caso 2, los  
resultados muestran que ASAM generó una estructura  
de 7524,9 kg/m, siendo 0,5 kg/m más liviana. Desde  
el punto de vista estadístico, en los dos problemas, los  
valores de pero, media y DE nos indica la exactitud,  
precisión, estabilidad y robustez de la técnica para la  
resolución de este tipo de problemas. Es importante  
74  
ISSN 2542-3401  
U N I V E R S I D A D , C I E N C I A y T E C N O L O G Í A V o l . 2 2 , N º 8 7 Ju n i o2 0 1 8( p p . 6 7 - 7 5 )
Millanetal .,O p t im iz a cióndel d iseñ od em ur o s d e c onte n c i ónempl e ando a l go r i t mo
mencionar que Camp [1] no reporta valores de peor, vol. 129, no. 6, p. 762–774, 2003.  
media y DS de los resultados.  
[10]M. G. Sahab, A. F. Ashour, and V. V. Toropov, "Cost  
optimisation of reinforced concrete flat slab buildings,"  
Eng. Struct., vol. 27, no. 3, p. 313–322, 2004.  
VI. CONCLUSIONES  
Se ha conseguido evaluar el desempeño del Algoritmo [11]H.G. Kwak and J. Kim, "Optimum design of  
Simulated Annealing Modificado (ASAM) en el reinforcedconcreteplaneframesbasedonpredetermined  
problema de optimización del diseño de muros de section database," Comput. Aided Des., vol. 40, no. 3,  
contención. Los valores de las variables de diseño y pp. 396-408, 2008.  
pesos obtenidos por ASAM, fueron comparados con los [12]E.G. Talbi, Metaheuristics: From Design to  
resultados reportados por Camp [1], mostrando que son Implementation. John Wiley and Sons, 2009.  
coherentes y satisfactorios (ver Tabla IV y V), dando así [13]C. Millan, O. Begambre, and E. Millan, "Propuesta  
validez al trabajo aquí realizado.  
y validación de un algoritmo Simulated annealing  
En cuanto a la técnica empleada, se puede observar que modificado para la solución de problemas de  
ASAM tiene precisión, robustez, y versatilidad para optimización," Rev. int. métodos numér. cálc. diseño  
enfrentar diversos tipos de problemas, con diferentes ing., vol. 30, no. 4, p. 264–270, 2014.  
números de variables, esto se ve reflejado en los pesos, [14]B. M. Das, Principles of geotechnical engineering.  
pesos promedios, y desviación estándar conseguidos.  
Boston: PWS Publishing, 1994.  
15]A.C. Institute, "Building code requirements for  
structural concrete and commentary (ACI 318-05),"  
[
VII. REFERENCIAS  
[
1]C. V. Camp andA. Alkin, "Design of Retaining Walls 2005.  
Using Big Bang–Big Crunch Optimization," J. Struct. [16]A.Saribaş and F. Erbatur, "Optimization and  
Eng., vol. 138, no. 3, pp. 438-448, 2012. sensitivity of retaining structures," J. Geotech. Eng.,  
2]B. Ceranic, C. Fryer, and R. W. Baines, "An vol. 122, no. 8, pp. 649-656, 1996.  
[
application of simulated annealing to the optimum  
design of reinforced concrete retaining structures,"  
Comput. Struct, vol. 79, no. 17, pp. 1569-1581, 2001.  
[3]V. Yepes, J. Alcala, C. Perea, and F. González-  
Vidosa, "A parametric study of optimum earth-retaining  
walls by simulated annealing," Eng. Struct, vol. 30, no.  
3
, pp. 821-830, 2008.  
[4]A. Kaveh and A. Abadi, "Harmony search based  
algorithm for the optimum cost design of reinforced  
concrete cantilever retaining walls," Int. J. Civ. Eng.,  
vol. 9, no. 1, pp. 1-8, 2010.  
[5]A. Gandomi, A. Kashani, D. Roke, and M. Mousavi,  
"Optimization of retaining wall design using recent  
swarm intelligence techniques," Engineering Structures,  
vol. 103, pp. 72-84, 2015.  
[6]C. Coello, A. D. Christiansen, and F. Santos, "A  
simple genetic algorithm for the design of reinforced  
concrete beams," Eng. Comput., vol. 13, no. 4, pp. 185-  
1
96, 1997.  
[7]S. Rajeev and C. S. Krishnamoorthy, "Genetic  
algorithms-based methodology for design optimization  
of reinforced concrete frames," Comput. Aided Civ.  
Infrastruct. Eng., vol. 13, no. 1, pp. 63-74, 1998.  
[8]C. V. Camp, S. Pezeshk, and H. Hansson, "Flexural  
design of reinforced concrete frames using a genetic  
algorithm," J. Struct. Eng., vol. 129, no. 1, pp. 105-115,  
2
[
003.  
9]C. L. Lee and J. Ahn, "Flexural design of reinforced  
concrete frames by genetic algorithm," J. Struct. Eng.,  
75  
ISSN 2542-3401  
UNIVERSIDAD,CIENCIAyTECNOLOGÍAVol.22,Nº87J u ni o2 018(pp.67- 75)