Lorbes et al . ,Met odo lo g í aTb oa lse andtai n eo nSa .l yg oCr iat rma ob saglleon Sé t. icSoimsyuloap c tiiómni znau cmi óénri pc ao r d ee nljflamj obrde e aire.  
METODOLOGÍA BASADA EN ALGORITMOS GENÉTICOS  
Y OPTIMIZACIÓN POR ENJAMBRE DE PARTÍCULAS PARA  
DEFINIR LAS MATRICES DE PESO DEL REGULADOR LINEAL  
CUADRÁTICO  
1
Lorbes, María .  
mariabelenlorbes@gmail.com  
Apartado 526. Maracaibo 4001-A, Estado Zulia, Venezuela.  
La Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. Escuela de Ingeniería Eléctrica  
Recibido (12/01/20), Aceptado (30/01/20)  
Resumen: El llamado problema de regulación lineal cuadrático es una estrategia de control moderna  
que por medio de la configuración de las matrices de peso Q y R, se encarga de la tediosa labor realizada  
por el especialista en la optimización del controlador; encontrando los parámetros de control que  
reduzcan al mínimo las desviaciones no deseadas. Sin embargo, no existen métodos analíticos simples  
que ayuden al diseñador a definir los valores de dichas matrices, las cuales están en función del sistema,  
del control que se desee realizar y de los esfuerzos de las variables de control; siendo fundamental el  
conocimiento profundo del proceso por parte del ingeniero. Los enfoques clásicos como el ensayo y error,  
el método de Bryson, y la asignación de polos consumen mucho tiempo y no garantizan el rendimiento  
esperado. Esta investigación planteó una metodología basada en algoritmos genéticos y optimización  
por enjambre de partículas para definir las matrices de peso Q y R. Logrando diseñar controladores  
óptimos de forma sencilla, rápida y a partir de un conocimiento básico del sistema a controlar.  
Palabras Clave: Regulador lineal cuadrático, matrices de peso Q y R, algoritmos genéticos, optimización  
por enjambre de partículas.  
GENETIC ALGORITHMS AND PARTICLE SWITCHING  
OPTIMIZATION TO DEFINE THE MATRICES OF WEIGHT OF  
THE LINEAR QUADRATIC REGULATOR METHODOLOGY  
Abstract: The linear quadratic regulation problem, its modern control strategy where controller  
parameters are found that minimize unwanted deviations through the configuration of the weight  
matrices Q and R; taking care of the tedious work done by the specialist in the optimization of the  
controller. However, there are no simple analytical methods that help the designer to define the values  
of these matrices, which are a function of the system, the control that is desired and the efforts of the  
control variables; being fundamental knowledge of the process on the part of the engineer. Classic  
approaches such as trial and error, Bryson's method, and pole allocation are labor intensive, time-  
consuming and do not guarantee the expected performance. This research proposed a methodology  
based on genetic algorithms and optimization by particle swarm to define the weight matrices Q and R.  
Achieving optimal controllers design easily, fast and with only knowing basically the system to control  
Keywords: Quadratic linear regulator, Q and R matrices, genetic algorithms, particle swarm optimization.  
34  
ISSN 2542-3401  
ISSN 2542-3401/ 1316-4821  
UNIVERSIDAD, CIENCIA y TECNOLOGÍA Vol. 24, Nº 97 Febrero 2020 (pp. 34-41)  
Lorbes et al . ,Met odo lo g í a ba s ada e nal g or it m o sgen é t ico sy optimi za ci ón p o r enjambre
I.INTRODUCCIÓN  
B. Algoritmos genéticos y algoritmos de optimiza-  
La definición de las matrices Q y R para resolver el ción por enjambre de partículas.  
problema de regulación lineal cuadrático (LQR), repre-  
Los algoritmos genéticos (GA, por sus siglas en in-  
sentan un gran inconveniente en tiempo como en dise- glés) se basan en la teoría de Darwin sobre la evolución  
ño del controlador [1]. Investigaciones desarrolladas de las especies mientras los algoritmos de optimización  
a mediados de los 90 en adelante han estudiado los al- por enjambre de partículas (PSO, por sus siglas en in-  
goritmos genéticos y la optimización por enjambre de glés), desarrollado por Kennedy y Eberhart en 1995, se  
partículas como estrategia para resolver problemas de basan en la capacidad de adaptación de los individuos  
control óptimo, obteniendo buenos resultados [2], [3].  
dentro del cúmulo y del cúmulo como tal [2] - [4].  
GA se esfuerza por determinar la solución óptima de  
Basándose en el algoritmo genético y el algoritmo  
de optimización por enjambre de partículas; el objetivo un problema mediante la utilización de tres operadores  
central de este trabajo es desarrollar una metodología (que lo hacen un algoritmo genético): Selección / Cruce  
que permitirá definir las matrices de peso Q y R del / Mutación; este paso es cíclico, se repite hasta que se  
regulador lineal cuadrático (LQR) con acción integral, cumpla un criterio de parada. No necesitan conocimien-  
empleado en sistemas multivariable lineales e invarian- tos específicos sobre el problema que intentan resolver  
tes en el tiempo, permitiendo ejecutar de forma más pero usan heurística para la resolución de problemas, lo  
sencilla y rápida dicho control garantizando el rendi- cual limita drásticamente el número de datos a utilizar  
miento esperado. El diseño del controlador se hará en [2] - [4].  
tiempo continuo usando Simulink de Matlab©.  
PSO analiza las interrelaciones de los individuos con  
Inicialmente se define la configuración de las ma- los integrantes de los grupos; como se afectó con los  
trices de peso Q y R, seguidamente se presentan varios otros y con él mismo, por lo tanto presenta dinámica de  
modelos de sistemas multivariable (MIMO) lineales grupo o conducta social; basado en la población igual  
e invariantes en el tiempo (LTI) tomados de estudios que GA y comportamiento individual, a diferencia del  
previos para ser usados en la prueba de la metodolo- GA [3], [4]. Cada individuo puede modificar su com-  
gía desarrollada. Posteriormente se exponen los pasos portamiento basado en tres (3) factores: Conocimiento  
a seguir para el desarrollo de la metodología propuesta. sobre el entorno, conocimiento histórico y experiencia  
Finalmente se presentan los resultados; que para efectos de los individuos cercanos. Después de varias iteracio-  
de validación de la metodología desarrollada (algoritmo nes (avances) el cúmulo de partículas tiende a ir a la  
desarrollado (Alg. Des., será la abreviación empleada posición del individuo mejor ubicado [3]. En PSO se  
en esta investigación)), se compararán con los obteni- busca que todos los pobladores del sistema alcancen un  
dos para el algoritmo genético, el algoritmo de optimi- óptimo global.  
zación por enjambre de partículas y el método tradicio-  
C. Modelos MIMOS de sistemas LTI empleados en  
nal más empleado para determinar las matrices de peso la investigación.  
Q y R del LQR; el ensayo y error (EE), programados  
Los sistemas MIMO LTI empleados fueron: Siste-  
cada uno de modo independiente. El análisis se hará en ma 1: Electro mecanismo multivariable [9]. Sistema 2:  
base a: La convergencia de la función de adaptación [3]. Evaporador de circulación forzada [10]. Sistema 3: He-  
Índice de desempeño del LQR [2], [4], [5]. Respuesta licóptero militar CH-47B [11].  
dinámica de los sistemas a lazo cerrado [7] - [8]  
B.METODOLOGÍA  
II.DESARROLLO  
A. Diseño de la metodología.  
A.Definición de las matrices Q y R del LQR.  
El código inicia con el algoritmo genético, al ob-  
Las matrices de peso Q de (n*n) que penaliza los tener la primera generación esta se mejoró empleando  
estados y R de (m*m) que penaliza las señales de con- optimización por enjambre de partículas. La Figura 1  
trol (con n el número de estados (orden del sistema) y muestra el diagrama de flujo de la metodología diseña-  
m el número de entradas (señales de control)) definen da para la obtención de las matrices de peso Q y R del  
el LQR. Se configuran en diagonal y ambas deben se LQR.  
simétricas; con Q semidefinida positiva (Q≥0), y R de-  
finida positiva (R>0) [1] - [4].  
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Sistema en espacio estados  
Controlabilidad  
Evolución (GA) y aprendizaje (PSO)  
Definir  
tamaños de  
Q “y “R”  
Sistema ampliado.  
Acción integral  
Parámetros GA y  
Parámetros  
Población inicial  
PSO  
“
Función  
Adaptación  
Obtención de  
“K” y “Ki””  
Definición valores de  
Simulación  
“Q” y “R”  
Cálculo del LQRI  
Si  
No  
Bandera = 1  
Selección  
Cruce  
Calcular y actualizar  
velocidades y posiciones  
de las partículas  
PCost  
<
PBest_Cost  
Actualizar mejor personal  
(Pbest_Position,  
Si  
Pbest_Cost)  
No  
Mutación  
PBest_Cost  
<
No  
Gbest_Cost  
Nueva  
generación GA  
Si  
Iniciar velocidades y  
posiciones (PSO) de la  
población obtenida con GA  
Aprendizaje de la  
población PSO  
Actualiza  
mejor global  
Bandera = 1  
Bandera = 0  
No  
Criterio de  
parada  
PCost: Actual función de adaptación de la partícula  
PBest_Cost_ Mejor función de adaptación de la partícula en el pasado  
Gbest_Cost:Mejor global  
Si  
Fin  
Figura 1. Diagrama de flujo de la metodología diseñada para obtener las matrices de peso Q y R del LQR,  
a partir de los principios del GA y el PSO.  
Siguiendo los pasos descritos a continuación:  
cular velocidades y posiciones. Actualizar peso de las  
1
.Población inicial. Definir parámetros del GA y los partículas. En cada etapa, el programa guarda el valor  
límites inferior y superior de los parámetros del PSO  
de costo y valor de error mínimo y se modifica la posi-  
ción de cada partícula.  
2
.Definir Q y R  
3
.Obtener el valor de las ganancias de control pro-  
6.Evaluar criterio de parada. No se cumple, volver  
porcional (K) e integral (Ki) usando el comando lqr en al paso 2.  
el software Matlab© El criterio de parada se basó en la premisa de que  
ambas partes del algoritmo resultante de la metodolo-  
.Inicializar velocidades y posiciones de las partícu- gía desarrollada (evolución (GA) y aprendizaje (PSO))  
alcanzaran el mismo valor de error mínimo; para esto  
a.Bandera 1: Operadores genéticos: selección, cru- se verificó que la diferencia entre las soluciones obte-  
ce, mutación. nidas fuera cero (0) y que dicho valor se repitiera tres  
4
5
.Evaluación de la función de adaptación  
las (PSO) de la población (obtenida con GA).  
b.Bandera 0: Si el costo para la mejor solución local (3) iteraciones seguidas. La Tabla I, presenta los datos  
es menor que el costo de la mejor solución global, la usados en la codificación del algoritmo resultante de la  
solución global se reemplaza con la solución local. Cal- metodología desarrollada.  
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TABLA I. Parámetros empleados para el algoritmo desarrollado. A partir de los operadores genéticos del  
GA [3] y criterios de aprendizaje para mejorar la ubicación tomados de PSO [2], [12].  
Parámetro  
Población inicial  
Función de adaptación (FA)  
Restricciones  
Datos  
50  
ITAE  
No aplica  
Selección  
Torneo  
Cruce  
Simple (en un punto)  
Probabilidad de cruce (pr)  
Mutación  
90%  
Multigen  
0.05  
Probabilidad de mutación (pm)  
C
C
1
2
2.05  
2.05  
Límite mínimo de variable decisión, VarMin  
Límite máximo de variable decisión, VarMaxn  
1e-5  
10  
B. Desarrollo y aplicación de la metodología.  
(Alg. Des.) como de los métodos: GA, PSO, EE para:  
Haciendo uso de la herramienta Matlab© se llevó sistema 1, ver Fig. 2 (a); sistema 2, ver Fig.2 (b); siste-  
a cabo la programación la metodología propuesta en ma 3, ver Fig. 2 (c), respectivamente. Observando que  
esta investigación y el diseño del controlador se realizó aunque el número de iteraciones presentada por el Alg.  
en tiempo continuo usando Simulink de Matlab©. El Des., respecto al GA y PSO fue mayor, este siempre  
tiempo de simulación empleado fue de cien segundos logró converger a la mejor función de adaptación para  
(ts=100 s). Realizándose ajustes al valor de referencia a todos los sistemas, ver Fig. 2(a), Fig. 2(b) y Fig. 2(c) lo  
lo largo de la simulación. Se empleó el escalón unitario cual, como se verá más adelante cuando se presenten las  
como señal de entrada [8].  
respuestas dinámicas de los sistemas, permitió ejercer  
el mejor control, debido a que valores demasiado altos  
de FA pueden ocasionar que el algoritmo oscile alrede-  
dor de un mínimo y una convergencia muy rápida no  
garantiza que se haya dado con la solución más óptima;  
IV. RESULTADOS  
A. Convergencia de la función de adaptación (FA).  
En la Figura 2 pueden apreciarse los resultados ob- quedando en un óptimo local. Cabe destacar que el mé-  
tenidos en la convergencia de la función de adaptación, todo EE no posee criterio de parada por lo que se esta-  
el número máximo de iteraciones ejecutadas y el error bleció un número finito de cien (100) iteraciones, luego  
mínimo requerido, tanto de la metodología desarrolla de las cuales se elegía la iteración con el menor FA.  
2
3
2
1
0
3
2
1
3
1
0
10  
10  
10  
10  
10  
FA: 7,065  
Iteración: 35  
FA: 7,235  
Iteración: 7  
FA: 37,181  
Iteración: 40  
FA: 41,229  
Iteración: 17  
1
0
0
1
0
2
10  
1
1
0
1
1
0
0
10  
10  
10  
0
10  
20  
Iteraciones  
30  
40  
0
2
4
6
8
0
10  
20  
Iteraciones  
30  
40  
0
5
10  
Iteraciones  
15  
20  
Iteraciones  
2
4
1
1.7  
FA: 8,971  
Iteración: 3  
10  
10  
10  
FA: 17,649  
Iteración:71  
101.3  
FA: 14,047  
Iteración: 3  
FA: 253,762  
Iteración: 58  
1
1.5  
3
1
0
0
10  
10  
1.2  
0
1
1
.3  
0
2
1
1
1.5  
2
2.5  
3
0
50  
100  
1
1.5  
2
2.5  
3
0
50  
100  
Iteraciones  
Iteraciones  
Iteraciones  
Iteraciones  
(a)  
(b)  
3
2
1
3
10  
10  
10  
10  
10  
10  
FA: 10,314  
Iteración: 34  
FA: 19,076  
Iteración: 13  
2
1
0
10  
20  
Iteraciones  
30  
40  
0
5
10  
15  
Iteraciones  
3
2
1
0
10  
10  
10  
10  
FA: 53,964  
Iteración: 2  
1
0
2.8  
FA: 221,749  
Iteración: 53  
2
.6  
.4  
1
0
2
10  
1
1.5  
Iteraciones  
2
0
50  
Iteraciones  
100  
(c)  
Figura 2. Gráficas de Convergencia de FA vs Iteraciones: (a) Sistema 1, (b) Sistema 2, (c) Sistema 3.  
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B. Definición de las matrices de peso Q y R. Entonamiento del controlador LQR.  
Con el algoritmo desarrollado se logró obtener los parámetros de Q y R del LQR, los elementos del vector de  
ganancia proporcional (K) y los elementos del vector de ganancia integral (Ki) para cada sistema como se pueden  
apreciar a continuación:  
(
1)  
2)  
(
(
3)  
4)  
(
(
5)  
6)  
(
C. Respuesta dinámica de los sistemas a lazo cerra- tiempo de levante y estabilización. “Suavizar” la señal  
do.  
de control, es decir, amortiguar el sobrepico debido al  
Es importante notar que el controlador multivariable cambio de la señal de referencia (señal escalón) es una  
LQR no pierde control sobre la planta. Para sistemas característica deseable en la práctica, puesto que au-  
MIMO donde la iteración de las variables influye en el menta la vida útil del actuador en la planta.  
desempeño del proceso también se espera que el contro-  
Los ajustes realizados al valor de referencia para el  
lador actúe más rápido ya que poco esfuerzo de control sistema 1, a lo largo de la simulación fueron: y1=5 a  
se refleja en una respuesta más lenta y por ende mayor los 10s y y2=2 a los 56s, ver Figura 3. A pesar de la in-  
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teracción existente en el accionamiento, el controlador  
Señales de control  
0
Alg Des.  
GA  
logra que cada salida alcance a su respectiva referencia.  
El algoritmo desarrollado presentó la mejor respuesta.  
-
20  
-40  
PSO  
EE  
-60  
0
0
0
10  
10  
10  
20  
20  
20  
30  
30  
30  
40  
40  
40  
50  
50  
50  
60  
60  
60  
70  
70  
70  
80  
80  
80  
90  
100  
100  
100  
Salidas del Sistema  
100  
6
Alg. Des.  
GA  
Alg. Des.  
5
0
4
2
0
GA  
PSO  
EE  
PSO  
EE  
0
0
90  
Alg. Des.  
GA  
-
500  
-1000  
1500  
-2  
PSO  
EE  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
-
90  
3
2
1
0
Tiempo, seg.  
Alg. Des.  
GA  
PSO  
EE  
Figura 4. Respuesta dinámica comparativa a lazo  
cerrado del sistema 2.  
-1  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
Tiempo, seg.  
Los ajustes del valor de referencia a lo largo de la  
simulación para el sistema 3 fueron y1=1 (t=15s) y2=1  
(t=50s), ver Figura 5, la respuesta de la primera salida  
Señales de control  
1
.5  
0
Alg Des.  
GA  
0
(y1), el Alg. Des., tuvo un tiempo de levante de 1,86s  
PSO  
EE  
con un sobrepaso de 0,016%. No se presentó sobre paso  
de la salida para el resto de los algoritmos En la se-  
gunda salida se aprecia que Alg. Des., genera la mejor  
respuesta, con un tiempo de levantamiento de 1,09s y  
-
0.5  
-1  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
1
.5  
0
Alg. Des.  
GA  
1
,11s respectivamente estableciéndose en 3,5s Por otra  
0
PSO  
EE  
parte los métodos PSO y EE, no lograron alcanzar la  
referencia para la segunda salida del sistema.  
-0.5  
-1  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
D. Índice de desempeño (JLQR).  
Tiempo, seg.  
En la Tabla III se puede observar la ponderación  
Figura 3. Respuesta dinámica comparativa a lazo que da cada método a los estados (beneficio del error,  
cerrado del sistema 1.  
xTQx) y al costo de control (uTRu) y la relación error/  
costo que alcanzó minimizar más al índice de desem-  
En el sistema 2, Los valores de referencia fueron peño (JLQR). Entre Q y R y la función que cada uno  
y1=1, y2=25 variando a 22,5 a los 50s y para y3=50. las ejerció dentro del índice de desempeño JLQR se encon-  
variables que presentan mayor interacción entre sí son tró una solución de compromiso entre el rendimiento  
nivel (y1) y composición (y2). Para la salida más im- del controlador y su nivel de actuación. R pondera el  
portante del segundo sistema estudiado (y2) el algorit- valor de la secuencia de señal de actuación, es decir,  
mo desarrollado presentó el menor sobrepaso (0.19%) evita que los valores de la señal de control sean muy  
y se estabilizó a los 38,81s, como puede apreciarse en grandes. Por lo tanto al minimizar JLQR se consiguió  
la Figura 4.  
una ley de control que por una parte acercó el estado al  
origen lo más rápido posible pero manteniendo un nivel  
de actuación moderados.  
Salidas del Sistema  
6
4
2
Alg. Des.  
GA  
PSO  
EE  
0
0
10  
10  
10  
20  
20  
20  
30  
30  
30  
40  
40  
40  
50  
50  
50  
60  
60  
60  
70  
70  
70  
80  
80  
80  
90  
100  
100  
100  
3
2
1
0
0
0
0
Alg. Des.  
GA  
PSO  
EE  
0
0
90  
6
4
2
0
0
0
0
Alg. Des.  
GA  
PSO  
EE  
90  
Tiempo, seg.  
39  
ISSN 2542-3401/ 1316-4821  
UNIVERSIDAD, CIENCIA y TECNOLOGÍA Vol. 24, Nº 97 Febrero 2020 (pp. 34-41)  
Lorbes et al . ,Met odo lo g í aTb oa lse andtai n eo nSa .l yg oCr iat rma ob saglleon Sé t. icSoimsyuloap c tiiómni znau cmi óénri pc ao r d ee nljflamj obrde e aire.  
Salidas del Sistema  
Señales de control  
1
.5  
1
0.2  
Alg. Des.  
Alg Des.  
GA  
0.1  
0
GA  
PSO  
EE  
PSO  
EE  
0
.5  
0
-0.1  
-0.2  
-0.5  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
0
.6  
.4  
1
.5  
Alg. Des.  
GA  
Alg. Des.  
GA  
0
1
PSO  
EE  
PSO  
EE  
0.2  
0
0.5  
0
-0.2  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
-0.5  
0
10  
20  
30  
40  
50  
60  
70  
80  
90  
100  
Tiempo, seg.  
Tiempo, seg.  
Figura 5. Respuesta dinámica comparativa a lazo  
cerrado del sistema 3.  
TABLA IV. Índice de desempeño (JLQR) y términos que lo componen. Sistema 1, 2, 3.  
SISTEMA 1  
SISTEMA 2  
SISTEMA 3  
Alg.  
Des.  
Alg.  
Des.  
GA  
PSO  
EE  
Alg. Des. GA  
PSO  
EE  
GA PSO EE  
Error  
9
3
36,2 1,60E+03 1,70E+03 504,7  
2,9 43,4 48,5 71,8  
2,50E+06 5,50E+05 6,90E+05 3,20E+06  
13,5 65 544 33,5  
T
(x Qx)  
Costo  
4,70E+04 1,20E+05 7,10E+07 2,90E+08  
4,70E+04 1,20E+05 7,10E+07 2,90E+08  
2,5 2,7 2,5  
1,8  
T
(
u Ru)  
J
LQR 969,1 1,60E+03 1,80E+03 576,5  
16 67,8 546,5 35,3  
V.CONCLUSIONES  
6-La combinación propuesta de GA y PSO para  
1
-Se diseñó un método para establecer los valores entonar LQR da una respuesta satisfactoria de tiempo  
de peso de las matrices Q y R de la estrategia de con- de levantamiento, sobrepaso, tiempo de alojamiento y  
trol óptimo LQR en sistemas LTI implementándose con menor ITAE. Los resultados obtenidos marcan una im-  
una herramienta informática Matlab© y Simulink.  
-El criterio de convergencia empleado en el algorit- que existe un potencial beneficio económico asociado  
mo desarrollado ayudó a que el proceso de simulación, al control.  
portante mejora al aplicar el control multivariable, ya  
2
efectuado con una herramienta informática (Matlab©),  
7-La investigación provee un método genérico que  
fuera simple y amigable en términos de tiempo ya que permite definir las matrices de peso Q y R del LQR de  
no fue necesario realizar un número elevado de simula- manera eficiente y eficaz sin importar que tanto cono-  
ciones, lo que representaba un inconveniente a la hora cimiento se tenga del sistema, puede ser aplicado en el  
de diseñar el control LQR.  
control óptimo de diferentes procesos reales, al tiempo  
3
-El esquema de control avanzado LQR con acción que asienta bases teóricas para seguir innovando en el  
integral, se entonó en base a las matrices Q y R, a partir campo del control óptimo a nivel de Hispanoamérica;  
del algoritmo resultante de la metodología desarrolla- actualmente muy pujante.  
da; permitiendo al diseñador balancear el compromiso  
entre respuestas rápidas y el esfuerzo de control reque- RECONOCIMIENTO  
rido; en tales condiciones se alcanzó el rendimiento óp-  
timo del sistema.  
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de In-  
geniería de La Universidad del Zulia, Venezuela.  
Profesores Edgar Salas, José Canelón, Ernesto Cor-  
4
-Empleando herramientas de diseño de Matlab©,  
se han ajustado los parámetros del controlador a partir nieles por sus oportunas asesorías en el desarrollo de la  
de una combinación de evolución y aptitud con simula- investigación  
ciones iterativas, obteniendo una respuesta suficiente-  
Ingeniero José Núñez por su invaluable ayu-  
mente precisa y poco costosa computacionalmente.  
da.  
5
-Los resultados demostraron que cuando el método  
desarrollado por esta investigación se utiliza para defi- REFERENCIAS  
nir las matrices de peso del LQR, la respuesta dinámica [1]W. J., Arcos, A., Tovar. “Control óptimo LQR de un  
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40  
ISSN 2542-3401  
ISSN 2542-3401/ 1316-4821  
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Lorbes et al . ,Met odo lo g í a ba s ada e nal g or it m o sgen é t ico sy optimi za ci ón p o r enjambre
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2
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